2 Darstellung naturwissenschaftlicher Größen

2.1 Formelzeichen, Vorsätze, Vorsatzzeichen und Einheiten

Naturwissenschaftliche Phänomene werden mit Hilfe physikalischer Größen dargestellt. Die Größen bestehen aus einem Formelzeichen, welches lediglich aus einem einzelnen Buchstaben bestehen sollte, dem Zahlenwert und der dazugehörigen Einheit, die mit dem Einheitenzeichen ausgedrückt wird. So lässt sich z. B. die Länge einer elektrischen Überland-Leitung wie folgt angeben:

l = 235 000 m
Formelzeichen = Zahlenwert·Einheitenzeichen

Hier ist „l“ das Formelzeichen für die physikalische Größe „Länge“. „235 000“ der Zahlenwert der Größe und „m“ das Einheitenzeichen, stellvertretend für das „Meter“. Die Einheit „Meter“ gehört zu den sieben Basiseinheiten des Internationalen Einheitensystems, welches im nächsten Abschnitt vorgestellt wird.

Zahlenwerte mit sehr vielen Ziffern sind nicht nur unübersichtlich, sondern erfordern, wenn sie in verschiedenen Gleichungen für die Berechnung anderer Größen Verwendung finden, sehr viel Schreib- bzw. Tipparbeit. Da alle Naturwissenschaftler ihre kostbare Zeit sinnvoller nutzen möchten, wurden Vorsatzzeichen definiert, mit denen lange Zahlenkolonnen vermieden werden.

Die oben angegebene Länge kann alternativ auch in km, cm oder mm angeben werden. Dabei ändert sich die Größe und somit die Ziffernzahl des Zahlenwertes.

l = 235 000 m = 235 km = 23 500 000 cm = 235 000 000 mm

Die rot gekennzeichneten Buchstaben sind die sogenannten Vorsatzzeichen (Kilo, Zenti, Milli), die für einen definierten Faktor stehen. Dieser Faktor wird „Vorsatz“ genannt. Die unterschiedlichen Faktoren werden vereinfacht als Zehnerpotenzen geschrieben.

l = 235 000 m = 235·1000 m = 23 500 000·0,01 m = 235 000 000·0,001 m
l = 235 000 m = 235·10³ m = 23 500 000·10^-2 m = 235 000 000·10^-3 m

Werden die jeweiligen Zahlenwerte mit diesen Faktoren multipliziert, ergibt sich wieder der ursprüngliche Zahlenwert 235 000 mit der Einheit Meter. Das muss immer gewährleistet sein, weil sich die ursprüngliche Länge bei Verwendung der Vorsatzzeichen nicht ändern darf. Sie müssen den Zahlenwert daher immer in Abhängigkeit des gewählten Vorsatzzeichens korrekt anpassen. Das können Sie aber nur, wenn Sie die mit den Vorsatzzeichen festgelegten Faktoren kennen. Es ist daher zu empfehlen, sich die unterschiedlichen Vorsatzzeichen und die dazugehörigen Zehnerpotenzen gut einzuprägen.

In unserem Beispiel stellt die Schreibweise l = 235 km den geringsten Arbeitsaufwand dar, weil nur sieben Zeichen geschrieben werden müssen.

Mit Hilfe der Vorsatzzeichen lassen sich nicht nur große Zahlenwerte verkleinern, sondern auch Längen, die nur ein millionstel Teil des Meters betragen, auf wenige Ziffern umfassende handliche Werte vergrößern.

l = 0,000 024 5 m = 24,5·0,000 001 m = 24,5·10^-6 m = 24,5 μm   (μ → Mikro)

In der Elektrotechnik können sehr kleine Zahlenwerte (bei Kapazitäten) aber auch sehr große Zahlenwerte (bei Widerständen) auftreten. Mit den Vorsatzzeichen werden diese Werte handhabbar. Die für dieses Modul relevanten Vorsatzzeichen sind in der nachfolgenden Tabelle rot hervorgehoben.

Auf der Internetseite des deutschen Messgeräteherstellers Rohde & Schwarz können Sie die Broschüre:„Der korrekte Umgang mit Größen, Einheiten und Gleichungen“ herunterladen. Sie gibt zusätzlich Informationen zur richtigen Beschriftung von Achsen-Diagrammen.

2.2 Das internationale SI-Einheitensystem

Für den internationalen und nationalen wissenschaftlichen und wirtschaftlichen Austausch empfiehlt sich ein einheitliches und in sich geschlossenes, also konsistentes Einheitensystem. Damit lassen sich fehlerträchtige Umrechnungen und Missverständnisse durch mehrdeutige Angaben vermeiden.

Auf dem Gebiet des späteren Deutschen Reiches gab es z. B. bis 1870 noch etwa 300 unterschiedliche Flächenmaße. Früher existierten sehr viele Einheiten gleichen Namens, die aber unterschiedlich waren. Das hat sich bis heute in bestimmten (unbedeutenden) Bereichen nicht geändert. Beispielsweise ist die deutsche Pferdestärke (PS) nicht vergleichbar mit der britischen horsepower (HP). Auch für die „Meile“ existierten über Jahrhunderte unterschiedliche Definitionen in den verschiedenen Anwendungsbereichen und Regionen und für die Temperaturmessung wurden verschiedene Skalen genutzt.

Mit der internationalen Vereinheitlichung des Einheitensystems werden Missverständnisse im Umgang mit Größen und Einheiten verhindert. Größenwerte können nun exakt verglichen werden (vgl.[1]).

Das Internationale Einheitensystem SI (Système international d´unités) ist die Weiterentwicklung des metrischen Systems. Es entstand im Rahmen der 11. Generalkonferenz für Maß und Gewicht im Jahr 1960 und ordnete die Einheiten im Messwesen neu.

Das SI besteht aus sieben Basiseinheiten und unterschiedlichen „abgeleiteten Einheiten“, die durch reine Multiplikation und Division mit dem Faktor 1 aus den Basiseinheiten gebildet werden (vgl. [2]).

Seit dem 20. Mai 2019 wird das Fundament des Internationalen Einheitensystems durch sieben Konstanten gebildet, die nachfolgend aufgelistet sind. Sie erlauben ein international vergleichbares Messen innerhalb der Meterkonvention. Mit diesen sieben Konstanten werden die Basiseinheiten definiert, daher nennt man sie auch „Definierende Konstanten“ (vgl. ebd.).

2.2.1 Die SI-Basiseinheiten

(Vgl. ebd.)

2.2.2 Elektrotechnisch relevante abgeleitete Einheiten

Im Folgenden sind die für die Elektrotechnik bedeutsamen und von den Basiseinheiten abgeleiteten Einheiten in Tabellenform zusammengefasst. Den größten Teil dieser Einheiten werden Sie im Laufe der Bearbeitung dieses Moduls kennen lernen und für die Berechnung elektrotechnischer Größen verwenden.

^*In der Elektrotechnik wird die Drehzahl eines Motors „Drehfrequenz“ genannt.

(Tabellendaten entnommen und gekürzt aus [2])

2.3 Griechisches Alphabet

Für die Darstellung variabler oder konstanter Größen werden in den Naturwissenschaften griechische Buchstaben eingesetzt. Die folgende Tabelle listet alle Buchstaben und deren Verwendung in der Elektrotechnik auf.

2.4 Mathematische Symbole

Für die Erklärung elektrotechnischer Zusammenhänge werden unterschiedliche mathematische Zeichen verwendet. Außer den allgemein bekannten Rechenoperatoren sind in der nachfolgenden Tabelle die in den Elektrotechnik-Lernmodulen zum Einsatz kommenden Zeichen dargestellt. Zusätzlich wurden die logischen Operatoren UND, ODER und NICHT mit aufgenommen.

Zeichen	Bezeichnung	Beispiele
±	Plus-Minus	x1,2 = ±20
∑	Summe (Sigma)	a = 2, b = 4 ⇒ ∑ (a, b) = 6
Δ	Differenz (Delta)	ΔR = Rϑ-R20
|	Rechenoperation	| · 7 (Multiplikation der Gleichung mit 7)
||	Parallel	R1 || R2 (Widerstd. R1 ist parallel zu R2)
√	Quadratwurzel
↑	wird größer	R↑, wenn ϑ↑ (Kaltleiter)
↓	wird kleiner	R↓, wenn ϑ↑ (Heißleiter)
∧	logisches UND	a ∧ b  (a UND b)
∨	logisches ODER	a ∨ b  (a ODER b)
¬	logisches NICHT	¬(a ∨ b)  (NICHT(a ODER b))
∼	proportional	I↑, wenn U↑  ⇒  I ∼ U
≈	angenähert gleich, rund	1,3457 ≈ 1,3
	entspricht	250g 1 €
≠	ungleich	5 ≠ 7
<	kleiner als	19 < 35
>	größer als	10 > 7
<<	viel kleiner als	1,05 << 249
>>	viel größer als	1356 >> 18
≤	kleiner gleich (kleiner oder gleich)	x ≤ 25
≥	größer gleich (größer oder gleich)	x ≥ 100
∞	unendlich	tan(90°) = ∞
⇒	daraus folgt	x = -x +4   ⇒  x = 2
ƒ	Funktion
ƒ(x)	Funktion von x (x = variable Größe)	ΔR = ƒ(Δϑ) = R20αΔϑ
π	Kreiszahl π = 3,14159265 …	A = r² π
e	Euler'sche Zahl e = 2,71828182 …	UR = U(1-e-t/τ)
lnx	natürlicher Logarithmus von x (Basis e)	ln(e³) = 3
lgx	dekadischer Logarithmus von x (Basis 10)	lg(105) = 5
sin(x)	Sinus von x	sin(45°) = 0,707, sin(π) = 0*
sin-1(x), arcsin(x)	Umkehrfunktion des Sinus	sin-1(1) = 90°, sin-1(0,5) = π/6*
cos(x)	Cosinus von x	cos(180°) = -1, cos(2π) = 1*
cos-1(x), arccos(x)	Umkehrfunktion des Cosinus	cos-1(1) = 0°, cos-1(0) = π/2*
tan(x)	Tangens von x	tan(90°) = ∞, tan(π/4) = 1*
tan-1(x), arctan(x)	Umkehrfunktion des Tangens	tan-1(1) = 45°, tan-1(0) = 0*

^*Die Winkelfunktionen werden im Modul „Grundlagen Elektrotechnik“ nicht verwendet!
  Für die Berechnung von Wechselstromschaltungen in einem anderen Elektrotechnik-Modul werden diese allerdings
  benötigt. Es sind jeweils zwei Beispiele angegeben, da mit den Funktionen sowohl im Winkelmaß (1. Beispiel) als
  auch im Bogenmaß (2. Beispiel) gerechnet werden kann.