5 Zusammenschaltung von Widerständen

5.5 Gruppenschaltung

Bei der Gruppenschaltung (gemischte Schaltung) sind unterschiedliche Bauelemente sowohl in Serie als auch parallel geschaltet. In dieser kann es aber auch Schaltungsteile geben, die dreieck- oder sternförmig miteinander verdrahtet sind. In diesen Fällen ist eine Berechnung mit den Gesetzen der Serien- und Parallelschaltung nicht direkt möglich. Es muss zunächst eine Umwandlung der Schaltungsteile von der Dreieck- in die Sternschaltung bzw. von der Stern- in die Dreieckschaltung vorgenommen werden.

Wir werden an dieser Stelle lediglich Gruppenschaltungen betrachten, die sich aus Serien- und Parallelschaltungen zusammensetzen.

In Bild 9 ist eine Gruppenschaltung mit gegebenen Widerstandswerten dargestellt, die von einem Gleichspannungsgenerator mit einer Spannung von 9 V gespeist wird.

Bild 9: Unbekannte Ströme und Spannungen in einer Gruppenschaltung

Wie verteilt sich die Eingangsspannung von 9 V auf die einzelnen Widerstände und welche Ströme fließen in den einzelnen Leitersträngen?

Diese Frage könnte selbst ein Experte nur sehr ungenau beantworten. Er würde sich die Schaltung ansehen und die einzelnen Werte grob im Kopf überschlagen. Wir wollen es mit den bis jetzt erworbenen elektrotechnischen Kenntnissen genau ausrechnen und das ist nicht allzu schwer, wenn systematisch vorgegangen wird.

Zunächst einmal fällt auf, dass der in die Schaltung fließende Strom nicht bekannt ist. Er ließe sich aber einfach mit dem ohmschen Gesetz berechnen, wenn die Schaltung nur aus einem bekannten Widerstand bestehen würde, der direkt vom Gleichspannungsgenerator gespeist wird.

Das erste Ziel muss daher sein, aus den bekannten Widerstandswerten den Gesamtwiderstand R_g (Ersatzwiderstand) zu bilden. Bild 10 zeigt, wie alle Widerstände der Gruppenschaltung schrittweise mit Hilfe der Rechenregeln für die Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen zu einem Widerstand zusammengefasst werden und damit eine einfache Ersatzschaltung entsteht.

Bild 10: Schrittweises Zusammenfassen der Widerstände in der Gruppenschaltung

Für jeden Schritt werden nun die einzelnen Widerstandsgrößen berechnet.

1. Berechnung der Serienschaltung R₂, R₃ und R₄ (R₂₃₄)

2. Berechnung der Parallelschaltung R₅ || R₂₃₄ (R₂₃₄₅)

3. Berechnung der Serienschaltung R₁, R₂₃₄₅ und R₆ (R_g)

Mit der Berechnung des Gesamtwiderstandes wurde die Voraussetzung geschaffen, um das zweite Ziel – die Berechnung aller Ströme und Spannungen – zu erreichen. Dazu muss nun der umgekehrte Weg gegangen und die vereinfachte Ersatzschaltung schrittweise zur ursprünglich gegebenen Gruppenschaltung zurück geführt werden. In Bild 11 sind die einzelnen Berechnungsschritte dargestellt.

Bild 11: Schrittweise Berechnung der Ströme und Spannungen in der Gruppenschaltung

Für jeden aufgeführten Schritt werden nun die Ströme und Spannungen berechnet.

1. Berechnung des Gesamtstromes I mit U und R_g

2. Berechnung der Teilspannungen U₁, U₅ und U₆ mit I sowie R₁, R₂₃₄₅ und R₆

Mit Hilfe der Maschenregel soll nun geprüft werden, ob die Spannungen korrekt berechnet wurden. Die Summe der berechneten Teilspannungen muss der Generatorspannung entsprechen.

Das Ergebnis zeigt, dass unsere bisherige Berechnung stimmt.

3. Berechnung der Teilströme I₁ und I₂ mit U₅ sowie R₅ und R₂₃₄

Auch an dieser Stelle soll eine Überprüfung der Ergebnisse vorgenommen werden. Diesmal mit Hilfe der Knotenregel. Die Summe der Teilströme, muss den Gesamtstrom ergeben.

Aufgrund der Rundung der berechneten Werte tritt eine sehr geringe Differenz zwischen den Werten auf. Der Fehler ist aber sehr klein und nicht relevant.

4. Berechnung der Teilspannungen U₂, U₃ und U₄ mit I₁ sowie R₂, R₃ und R₄

Die Summe dieser Teilspannungen muss genauso groß sein, wie die Spannung U₅.

Auch hier tritt eine geringfügige und damit vernachlässigbare Abweichung durch die aufgerundeten Teilergebnisse auf.

Damit ist die Anfangsfrage der Betrachtungen zur Grupppenschaltung beantwortet und alle Ströme und Spannungen in der Schaltung berechnet.

Wenn Sie diese Gruppenschaltung z. B. mit Hilfe eines Experimentierboards aufbauen, können Sie – mit nur geringen Abweichungen – die Ströme und Spannungen messen, die hier berechnet wurden.

Ich hoffe, Sie haben erkannt, dass für die Ermittlung der Ströme und Spannungen nur wenige Gleichungen notwendig waren und dass diese Ihnen zugleich die Möglichkeit bieten, Ihre Ergebnisse zu jedem Zeitpunkt der Berechnung selbst zu überprüfen. Nutzen Sie diese Möglichkeiten, damit Sie frühzeitig Fehler erkennen.