Grundlagen der Elektrotechnik

Inhaltsverzeichnis

 

2 Darstellung naturwissenschaftlicher Größen

2.1 Formelzeichen, Vorsätze, Vorsatzzeichen und Einheiten

Naturwissenschaftliche Phänomene werden mit Hilfe physikalischer Größen dargestellt. Die Größen bestehen aus einem Formelzeichen, welches lediglich aus einem einzelnen Buchstaben bestehen sollte, dem Zahlenwert und der dazugehörigen Einheit, die mit dem Einheitenzeichen ausgedrückt wird. So lässt sich z. B. die Länge einer elektrischen Überland-Leitung wie folgt angeben:

l = 235 000 m
Formelzeichen = Zahlenwert·Einheitenzeichen

Hier ist „l“ das Formelzeichen für die physikalische Größe „Länge“. „235 000“ der Zahlenwert der Größe und „m“ das Einheitenzeichen, stellvertretend für das „Meter“. Die Einheit „Meter“ gehört zu den sieben Basiseinheiten des Internationalen Einheitensystems, welches im nächsten Abschnitt vorgestellt wird.

Zahlenwerte mit sehr vielen Ziffern sind nicht nur unübersichtlich, sondern erfordern, wenn sie in verschiedenen Gleichungen für die Berechnung anderer Größen Verwendung finden, sehr viel Schreib- bzw. Tipparbeit. Da alle Naturwissenschaftler ihre kostbare Zeit sinnvoller nutzen möchten, wurden Vorsatzzeichen definiert, mit denen lange Zahlenkolonnen vermieden werden.

Die oben angegebene Länge kann alternativ auch in km, cm oder mm angeben werden. Dabei ändert sich die Größe und somit die Ziffernzahl des Zahlenwertes.

l = 235 000 m = 235 km = 23 500 000 cm = 235 000 000 mm

Die rot gekennzeichneten Buchstaben sind die sogenannten Vorsatzzeichen (Kilo, Zenti, Milli), die für einen definierten Faktor stehen. Dieser Faktor wird „Vorsatz“ genannt. Die unterschiedlichen Faktoren werden vereinfacht als Zehnerpotenzen geschrieben.

l = 235 000 m = 235·1000 m = 23 500 000·0,01 m = 235 000 000·0,001 m
l = 235 000 m = 235·103 m = 23 500 000·10-2 m = 235 000 000·10-3 m

Werden die jeweiligen Zahlenwerte mit diesen Faktoren multipliziert, ergibt sich wieder der ursprüngliche Zahlenwert 235 000 mit der Einheit Meter. Das muss immer gewährleistet sein, weil sich die ursprüngliche Länge bei Verwendung der Vorsatzzeichen nicht ändern darf. Sie müssen den Zahlenwert daher immer in Abhängigkeit des gewählten Vorsatzzeichens korrekt anpassen. Das können Sie aber nur, wenn Sie die mit den Vorsatzzeichen festgelegten Faktoren kennen. Es ist daher zu empfehlen, sich die unterschiedlichen Vorsatzzeichen und die dazugehörigen Zehnerpotenzen gut einzuprägen.

In unserem Beispiel stellt die Schreibweise l = 235 km den geringsten Arbeitsaufwand dar, weil nur sieben Zeichen geschrieben werden müssen.

Mit Hilfe der Vorsatzzeichen lassen sich nicht nur große Zahlenwerte verkleinern, sondern auch Längen, die nur ein millionstel Teil des Meters betragen, auf wenige Ziffern umfassende handliche Werte vergrößern.

l = 0,000 024 5 m = 24,5·0,000 001 m = 24,5·10-6 m = 24,5 μm   (μ → Mikro)

In der Elektrotechnik können sehr kleine Zahlenwerte (bei Kapazitäten) aber auch sehr große Zahlenwerte (bei Widerständen) auftreten. Mit den Vorsatzzeichen werden diese Werte handhabbar. Die für dieses Modul relevanten Vorsatzzeichen sind in der nachfolgenden Tabelle rot hervorgehoben.

VORSATZZEICHEN VORSATZ
Name Zeichen Faktor Zehnerpotenz
Exa E 1000 000 000 000 000 000 1018
Peta P 1000 000 000 000 000 1015
Tera T 1000 000 000 000 1012
Giga G 1000 000 000 109
Mega M 1000 000 106
Kilo k 1000 103
Hekto h 100 102
Deka da 10 101
Dezi d 0,1 10-1
Zenti c 0,01 10-2
Milli m 0,001 10-3
Mikro µ 0,000 001 10-6
Nano n 0,000 000 001 10-9
Piko p 0,000 000 000 001 10-12
Femto f 0,000 000 000 000 001 10-15
Atto a 0,000 000 000 000 000 001 10-18

 

Hinweis

Auf der Internetseite des deutschen Messgeräteherstellers Rohde & Schwarz können Sie die Broschüre:„Der korrekte Umgang mit Größen, Einheiten und Gleichungen“ herunterladen. Sie gibt zusätzlich Informationen zur richtigen Beschriftung von Achsen-Diagrammen.

 

2.2 Das internationale SI-Einheitensystem

Für den internationalen und nationalen wissenschaftlichen und wirtschaftlichen Austausch empfiehlt sich ein einheitliches und in sich geschlossenes, also konsistentes Einheitensystem. Damit lassen sich fehlerträchtige Umrechnungen und Missverständnisse durch mehrdeutige Angaben vermeiden.

Auf dem Gebiet des späteren Deutschen Reiches gab es z. B. bis 1870 noch etwa 300 unterschiedliche Flächenmaße. Früher existierten sehr viele Einheiten gleichen Namens, die aber unterschiedlich waren. Das hat sich bis heute in bestimmten (unbedeutenden) Bereichen nicht geändert. Beispielsweise ist die deutsche Pferdestärke (PS) nicht vergleichbar mit der britischen horsepower (HP). Auch für die „Meile“ existierten über Jahrhunderte unterschiedliche Definitionen in den verschiedenen Anwendungsbereichen und Regionen und für die Temperaturmessung wurden verschiedene Skalen genutzt.

Mit der internationalen Vereinheitlichung des Einheitensystems werden Missverständnisse im Umgang mit Größen und Einheiten verhindert. Größenwerte können nun exakt verglichen werden (vgl.[1]).

Das Internationale Einheitensystem SI (Système international d´unités) ist die Weiterentwicklung des metrischen Systems. Es entstand im Rahmen der 11. Generalkonferenz für Maß und Gewicht im Jahr 1960 und ordnete die Einheiten im Messwesen neu.

Das SI besteht aus sieben Basiseinheiten und unterschiedlichen „abgeleiteten Einheiten“, die durch reine Multiplikation und Division mit dem Faktor 1 aus den Basiseinheiten gebildet werden (vgl. [2]).

 

2.2.1 Die SI-Basiseinheiten

  SI-Basiseinheit
Größe Name Zeichen Definition
Länge Meter m Das Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von (1/299 792 458) Sekunden durchläuft.
Masse Kilogramm kg Das Kilogramm ist die Einheit der Masse; es ist gleich der Masse des Internationalen Kilogrammprototyps.
Zeit Sekunde s Die Sekunde ist das 9 192 631 770fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung.
elektrische Stromstärke Ampere A

Das Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von einem Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je einem Meter Leiterlänge die Kraft 2·10–7 Newton hervorrufen würde.

thermodynamische Temperatur Kelvin K Das Kelvin, die Einheit der thermodynamischen Temperatur, ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.
Stoffmenge Mol mol

Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Einzelteilchen besteht, wie Atome in 0,012 Kilogramm des Kohlenstoffnuklids 12C enthalten sind. Bei Benutzung des Mol müssen die Einzelteilchen spezifiziert sein und können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen oder Gruppen solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein.

Lichtstärke Candela cd Die Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540·1012 Hertz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung (1/683) Watt durch Steradiant beträgt.

(Definitionstexte entnommen aus [2])

 

2.2.2 Elektrotechnisch relevante abgeleitete Einheiten

Im Folgenden sind die für die Elektrotechnik bedeutsamen und von den Basiseinheiten abgeleiteten Einheiten in Tabellenform zusammengefasst. Den größten Teil dieser Einheiten werden Sie im Laufe der Bearbeitung dieses Moduls kennen lernen und für die Berechnung elektrotechnischer Größen verwenden.

Von der Länge abgeleitete Einheiten
  Name Zeichen Beziehungen und Bemerkungen
ebener Winkel Radiant rad 1 rad = 1 m/m
(Zentriwinkel r = 1 m, Bogen = 1m)
Vollwinkel   2π·rad = 360°
Grad ° 1° = (π/180)rad
Fläche Quadrat-
meter
nicht „qm“ verwenden!
Volumen Kubik-
meter
nicht „cbm“ verwenden!
Liter l oder L 1 l = 10-3 m³ =1 dm³ = 10³ cm³

 

Von der Masse abgeleitete Einheiten
  Name Zeichen Beziehungen und Bemerkungen
  Gramm g 1 g = 10-3 kg
  Tonne t 1 t = 103 kg
Dichte   kg/m³ 1 kg/m³ = 1g/l

 

Von der Zeit abgeleitete Einheiten
  Name Zeichen Beziehungen und Bemerkungen
Zeitspanne,
Dauer
Minute min 1 min = 60 s
Stunde h 1 h = 60 min = 3600 s
Tag d 1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s
Frequenz Hertz Hz 1 Hz = 1/s
Drehzahl, Drehgeschwindigkeit,
Drehfrequenz*
reziproke Sekunde 1/s  
reziproke Minute 1/min 1/min = 1/(60 s)
Geschwindigkeit Meter durch Sekunde m/s 1 m/s = 3,6 km/h
Winkelgeschwindigkeit   rad/s  
Arbeit, Energie,
Wärmemenge
Joule J 1 J = 1 N·m = 1 W·s = (1/3,6)·10–6 kWh

Kilowatt-
stunde

kWh 1 kWh = 3,6 MJ
Elektronenvolt eV 1 eV = 160,21892·10-21 J
Leistung,
Energiestrom,
Wärmestrom
Watt W 1 W = 1 J/s = 1 N·m/s = 1 V·A
Voltampere VA 1 VA = 1 W (Scheinleistung)
Var
(Voltampere reaktiv)
var 1 var = 1 W (Blindleistung)

*In der Elektrotechnik wird die Drehzahl eines Motors „Drehfrequenz“ genannt.

 

Von der elektrischen Stromstärke abgeleitete Einheiten
Größe Name Zeichen Beziehungen und Bemerkungen
elektrische Spannung,
elektrisches Potenzial,
elektromotorische Kraft
Volt V 1 V = 1 W/A
elektrischer Widerstand Ohm Ω 1 Ω = 1 V/A = 1/S
elektrischer Leitwert Siemens S 1 S = 1 A/V = 1/Ω
elektrische Ladung,
Elektrizitätsmenge
Coulomb
Amperestunde
C
Ah
1 C = 1 A·s
1 Ah = 3600 A·s = 3600 C
elektrische Kapazität Farad F 1 F = 1 C/V = 1 A·s/V
Permittivität   F/m 1 F/m = 1 A·s/(V·m)
elektrische Feldstärke   V/m 1 V/m = 1 kg·m/(A·s³)
magnetischer Fluss Weber Wb 1 Wb = 1 V·s = 1 T·m² = 1 A·H
magnetische Flussdichte,
magnetische Induktion
Tesla T 1 T = 1 Wb/m² = 1 V·s/m² = 1 kg/(s²·A)
Induktivität
magnetischer Leitwert
Henry H 1 H = 1 Wb/A
Permeabilität   H/m 1 V·s/(A·m)
magnetische Feldstärke   A/m  

 

Von der thermodynamischen Temperatur T abgeleitete Einheiten
  Name Zeichen Beziehungen und Bemerkungen
Celsius-Temperatur t Grad Celsius °C t/°C = T/K – 273,15 K
Temperaturdifferenz Kelvin
Grad Celsius
K
°C
 

(Tabellendaten entnommen und gekürzt aus [2])

 

2.3 Griechisches Alphabet

Für die Darstellung variabler oder konstanter Größen werden in den Naturwissenschaften griechische Buchstaben eingesetzt. Die folgende Tabelle listet alle Buchstaben und deren Verwendung in der Elektrotechnik auf.

Buchstabe  
groß klein Variante Name Verwendung in der Elektrotechnik
Α α   Alpha α → Winkel, Temperarturbeiwert (lineare Konstante)
Β β ϐ Beta β → Winkel, Temperarturbeiwert (quadratische Konstante)
Γ γ   Gamma γ → Winkel, spezifische Leitfähigkeit eines Metalls
Δ δ   Delta Δ → Differenz, δ → Verlustwinkel Kondensator bzw. Spule
Ε ε   Epsilon ε → Permittivität (dielektrische Leitfähigkeit, Kapazität)
Ζ ζ   Zeta  
Η η   Eta η → Wirkungsgrad
Θ θ ϑ Theta ϑ → Temperatur (Temperaturabh. von Widerständen)
Ι ι   Iota  
Κ κ ϰ Kappa ϰ → spezifische Leitfähigkeit eines Metalls (veraltet)
Λ λ   Lambda λ → Wellenlänge
Μ μ   My μ → Permeabilität (magnetische Leitfähigkeit, Induktivität)
μ → Vorsatzzeichen μ = 10-6 = 0,000001
Ν ν   Ny  
Ξ ξ   Xi  
Ο ο   Omikron  
Π π ϖ Pi π → Kreiszahl (Leiterquerschnitt, Wechselstrom)
Ρ ρ ϱ Rho ρ, ϱ → spezifischer Widerstand eines Metalls
Σ σ ς Sigma Σ → Summe
Τ τ   Tau τ → Zeitkonstante (Einschaltvorgänge Spule u. Kondensator)
Υ υ ϒ Ypsilon  
Φ φ ϕ Phi Φ → magnetischer Fluss (Induktivität)
φ → Phasenwinkel (Wechselstromkreis)
Χ χ   Chi  
Ψ ψ   Psi  
Ω ω   Omega Ω → Einheit elektrischer Widerstand (Ohm)
ω → Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit (Wechselstrom)

 

2.4 Mathematische Symbole

Für die Erklärung elektrotechnischer Zusammenhänge werden unterschiedliche mathematische Zeichen verwendet. Außer den allgemein bekannten Rechenoperatoren sind in der nachfolgenden Tabelle die in den Elektrotechnik-Lernmodulen zum Einsatz kommenden Zeichen dargestellt. Zusätzlich wurden die logischen Operatoren UND, ODER und NICHT mit aufgenommen.

Zeichen Bezeichnung Beispiele
± Plus-Minus x1,2 = ±20
Summe (Sigma) a = 2, b = 4 ⇒ ∑ (a, b) = 6
Δ Differenz (Delta) ΔR = Rϑ-R20
| Rechenoperation | · 7 (Multiplikation der Gleichung mit 7)
|| Parallel R1 || R2 (Widerstd. R1 ist parallel zu R2)
Quadratwurzel  
wird größer R↑, wenn ϑ↑ (Kaltleiter)
wird kleiner R↓, wenn ϑ↑ (Heißleiter)
logisches UND a ∧ b  (a UND b)
logisches ODER a ∨ b  (a ODER b)
¬ logisches NICHT ¬(a ∨ b)  (NICHT(a ODER b))
proportional I↑, wenn U↑  ⇒  IU
angenähert gleich, rund 1,3457 ≈ 1,3
entspricht 250g 1 €
ungleich 5 ≠ 7
< kleiner als 19 < 35
> größer als 10 > 7
<< viel kleiner als 1,05 << 249
>> viel größer als 1356 >> 18
kleiner gleich (kleiner oder gleich) x ≤ 25
größer gleich (größer oder gleich) x ≥ 100
unendlich tan(90°) = ∞
  ⇒ daraus folgt x = -x +4   ⇒  x = 2
ƒ Funktion  
ƒ(x) Funktion von x (x = variable Größe) ΔR = ƒ(Δϑ) = R20αΔϑ
π Kreiszahl π = 3,14159265 … A = r² π
e Euler'sche Zahl e = 2,71828182 … UR = U(1-e-t)
lnx natürlicher Logarithmus von x (Basis e) ln(e³) = 3
lgx dekadischer Logarithmus von x (Basis 10) lg(105) = 5
sin(x) Sinus von x sin(45°) = 0,707, sin(π) = 0*
sin-1(x), arcsin(x) Umkehrfunktion des Sinus sin-1(1) = 90°, sin-1(0,5) = π/6*
cos(x) Cosinus von x cos(180°) = -1, cos(2π) = 1*
cos-1(x), arccos(x) Umkehrfunktion des Cosinus cos-1(1) = 0°, cos-1(0) = π/2*
tan(x) Tangens von x tan(90°) = ∞, tan(π/4) = 1*
tan-1(x), arctan(x) Umkehrfunktion des Tangens tan-1(1) = 45°, tan-1(0) = 0*

*Die Winkelfunktionen werden im Modul „Grundlagen Elektrotechnik“ nicht verwendet!
  Für die Berechnung von Wechselstromschaltungen in einem anderen Elektrotechnik-Modul werden diese allerdings
  benötigt. Es sind jeweils zwei Beispiele angegeben, da mit den Funktionen sowohl im Winkelmaß (1. Beispiel) als
  auch im Bogenmaß (2. Beispiel) gerechnet werden kann.

 


 


 

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